| abstract
| - Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины , принимающей целочисленные значения с вероятностями где — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний). Традиционная интерпретация. Пусть — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения и с вероятностями и соответственно. Случайные величины можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём в случае «положительного исхода» и в случае «отрицательного исхода» -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов» подчиняется биномиальному распределению с параметрами . Эвентологическая интерпретация. Проводится множество из случайных экспериментов. В результате -го эксперимента событие наступает с вероятностью или не наступает с вероятностью ; все вместе эти события образуют множество событий независимых в совокупности. Такая схема проведения экспериментов называется схемой испытаний Бернулли. Случайная величина равная сумме индикаторов событий из и интерпретируемая как число событий из множества , наступающих в результате независимых случайных экспериментов, подчиняется биномиальному распределению с параметрами . Производящая функция биномиального распределения — -ая степень бинома , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид: Моменты биномиального распределения выражаются формулами: Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид где — целая часть , причём справедливо так называемое «нормальное приближение» где — функция распределения стандартного нормального распределения, а равномерно для всех . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности. При функция биномиального распределения выражается в терминах функции стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа) где — бета-функция Эйлера. Если количество независимых экспериментов велико, а вероятность мала, то биномиальные вероятности приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона: При этом если и , то равномерно относительно всех из открытого интервала имеет место асимптотическая формула где . Многомерным обобщением биномиального распределения в теории вероятностей считается полиномиальное распределение.
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)