| abstract
| - Изучение функции разбиения числа Эйлер начинает с рассмотрения бесконечного произведения (1 + + + ...)(1 + + + ...) ... (1 + + + ...) ... Каждый член произведения получается в результате умножения мономов, взятых по одному из каждой скобки. Если в первой скобке взять , во второй — и т.д., то их произведение будет равно Значит, после раскрытия скобок получится сумма мономов вида . Сколько раз в этой сумме встретится ? Столько, сколькими способами можно представить как сумму Каждому такому представлению отвечает разбиение числа на единиц, двоек и т.д. Так получаются все разбиения, так как каждое из них, конечно, состоит из нескольких единиц, нескольких двоек и т.д. Поэтому коэффициент при равен числу разбиений . Посмотрим теперь на выражения в скобках. Каждое из них — бесконечная геометрическая прогрессия. По формуле суммирования , и т.д. Теперь наш результат можно записать так: . (1) Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году. Ряд, стоящий в левой части, называется производящей функцией последовательности чисел , , , ... Производящая функция позволяет компактно записать информацию о последовательности, хотя извлечение этой информации из производящей функции порой требует большого искусства. Рассмотрим как это делал Эйлер. Обозначим через количество разбиений числа на различные слагаемые, а через — на нечётные. Например, среди выписанных выше разбиений числа различные части имеют , и , а нечётные — , и . Значит, . Такие же рассуждения, как при выводе формулы (1), позволяют выписать производящие функции последовательностей и : , . Воспользуемся формулой , верной при всех : В правой части равенства все числители сокращаются со знаменателями, содержащими в чётной степени. Поэтому в знаменателе останутся только сомножители вида . Итак, . (2) Значит, производящие функции последовательностей и совпадают! Мы доказали теорему Эйлера: . Это доказательство хорошо иллюстрирует силу метода производящих функций. Но вернёмся к вычислению . Изучая производящую функцию последовательности , Эйлер сосредоточил внимание на произведении , т.е. на знаменателе правой части формулы (1). Раскрывая в нём скобки, Эйлер получил удивительный результат: Показатели в правой части — пятиугольные числа, т.е. числа вида , а знаки при соответствующих мономах равны . Исходя из этого наблюдения, Эйлер предположил, что должна быть верна Пентагональная теорема: . Пентагональная теорема оказалась «крепким орешком» — Эйлер сумел доказать её лишь 14 лет спустя. Эта теорема позволяет сравнительно просто вычислять значения . Вот как это делается. Умножим обе части равенства (1) на и воспользуемся пентагональной теоремой: . Раскрыв скобки в левой части, получим, что коэффициенты при ненулевых степенях x равны нулю. Отсюда мы получаем замечательную формулу Эйлера, позволяющую последовательно находить числа : (Мы считаем, что при .) Пользуясь формулой Эйлера, можно составить таблицу значений для , что и проделал в начале XX века известный английский специалист по комбинаторике майор Мак-Магон. В то время это была наиболее полная таблица чисел . Итак, мы сформулировали две теоремы, одну из которых — — доказали. Согласитесь, что при всей элегантности этого доказательства, оно всё же оставляет чувство неудовлетворённости. Два множества разбиений — на нечётные и на неравные части — неожиданно оказались состоящими из одинакового числа элементов, но причина этого равенства осталась скрытой от нас. Хотелось бы думать, что существует какой-то естественный способ каждому элементу одного множества ставить в соответствие элемент другого.
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)