Недоказуемые утверждения в какой-либо теории — утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой теории. По теореме Гёделя о неполноте в каждой достаточно сложной непротиворечивой теории имеется недоказуемое утверждение. Однако нахождение достаточно простых таких утверждений и доказательство их недоказуемости — достаточно сложная задача. Наиболее знаменитыми и важными результатами в этой области являются следующие:
Недоказуемые утверждения в какой-либо теории — утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой теории. По теореме Гёделя о неполноте в каждой достаточно сложной непротиворечивой теории имеется недоказуемое утверждение. Однако нахождение достаточно простых таких утверждений и доказательство их недоказуемости — достаточно сложная задача. Наиболее знаменитыми и важными результатами в этой области являются следующие:
* 5-й постулат Евклида недоказуем с помощью остальных аксиом классической геометрии.
* Аксиома выбора и континуум-гипотеза недоказуемы в теории множеств с аксиоматикой Цермело — Франкеля (ZF).