| rdfs:comment
| - В теории групп группа называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число.) Таким образом, мы называем G циклической, если G = {an| }. Иначе говоря, группа G циклическая, если в G любая подгруппа, содержащая a, совпадает с G. Это следует из того, что в такой подгруппе должны содержаться все степени элемента a.
|
| abstract
| - В теории групп группа называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число.) Таким образом, мы называем G циклической, если G = {an| }. Иначе говоря, группа G циклическая, если в G любая подгруппа, содержащая a, совпадает с G. Это следует из того, что в такой подгруппе должны содержаться все степени элемента a. Например, если G = {e, g1, g2, g3, g4, g5}, то G циклическая. В этом случае можно заметить, что G устроена также, как и группа {0, 1, 2, 3, 4, 5} с операцией сложения по модулю 6 (говоря формально, G изоморфна ей). Изоморфизм строится, если в соответствие g поставить 1 из второй группы. Для каждого числа существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа такого порядка. Также существует ровно одна бесконечная циклическая группа. Из-за такой простоты их строения циклические группы досконально изучены и классифицированы. Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению (). Поскольку все циклические группы абелевы, их часто обозначают как , хотя некоторые математики такого обозначения избегают, обозначая их как факторгруппы целых чисел (), чтобы не спутать с другими общепринятыми обозначениями.
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)