| rdfs:comment
| - Пусть — множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или . Ясно, что и . Справедливо следующее утверждение: Доказательство проведем методом математической индукции. База. Если , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество – оно само, и интересующее нас число равно . Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть – множество с кардинальным числом . Зафиксировав некоторый элемент , разделим подмножества множества на два типа:
- В математике для данного множества , степень множества, множество подмножеств или булеан , записывается как , или — это множество всех подмножеств множества . В аксиоматической теории множеств, существование булеана произвольного множества постулируется аксиомой булеана. Любое подмножество из называется семейством множеств под . Например, если — это множество , то полный список подмножеств имеет вид:
* (пустое множество, обычно обозначается )
*
*
*
*
*
*
* и, следовательно, булеан множества равен
|
| abstract
| - В математике для данного множества , степень множества, множество подмножеств или булеан , записывается как , или — это множество всех подмножеств множества . В аксиоматической теории множеств, существование булеана произвольного множества постулируется аксиомой булеана. Любое подмножество из называется семейством множеств под . Например, если — это множество , то полный список подмножеств имеет вид:
* (пустое множество, обычно обозначается )
*
*
*
*
*
*
* и, следовательно, булеан множества равен Если — конечное множество из элементов, то его булеан состоит из элементов. (Можно – и компьютеры иногда так делают – представить элементы как -битовые числа; -й бит отвечает за присутствие или отсутствие -го элемента из в соответствующем подмножестве. Существует таких -битовых чисел.) Диагональ Кантора показывает, что булеан множества (бесконечного или нет) всегда имеет строго большую мощность, чем само множество (проще говоря, булеан должен быть 'больше', чем исходное множество). Булеан множества натуральных чисел, например, можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством вещественных чисел (см. мощность континуума). Булеан множества вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения можно рассматривать как типичный пример булевой алгебры. Действительно, можно показать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре булеана конечного множества. Для бесконечных булевых алгебр это не остается верным, но каждая булева алгебра является подалгеброй булевой алгебры (хотя это не всегда особенно упоминаемое представление бесконечной Булевой алгебры). Булеан множества образует абелеву группу, когда рассматривается вместе с операцией симметрической разности (с пустым множеством в качестве единицы и каждым множеством, обратным самому себе) и коммутативной полугруппой, когда рассматривается вместе с операцией пересечения. Можно, следовательно, показать (используя дистрибутивные законы), что булеан, рассматриваемый вместе с двумя этими операциями образует коммутативное кольцо.
- Пусть — множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или . Ясно, что и . Справедливо следующее утверждение: Доказательство проведем методом математической индукции. База. Если , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество – оно само, и интересующее нас число равно . Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть – множество с кардинальным числом . Зафиксировав некоторый элемент , разделим подмножества множества на два типа: 1.
* содержащие , 2.
* не содержащие , то есть являющиеся подмножествами множества . Подмножеств типа (2) по предположению индукции . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1). Поэтому число всех подмножеств множества равно .
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)