| abstract
| - Случайное множество — измеримое отображение семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства в некоторое пространство , элементами которого являются множества. Существуют различные уточнения понятия С.м. в зависимости от структуры множества значений. Так, если - топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространенными являются случаи:
* — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства , называемого базовым), тогда С.м. есть случайное замкнутое множество;
* — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
* — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам;
* — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
* — подпространство выпуклых элементов , при этом получают случайное выпуклое множество. Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства С.м. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств. Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение С.м. Существует, однако, класс сепарабельных С.м., для которых точечный закон полностью задает распределение: это С.м. со свойством , где счетно и всюду плотно в . Важными частными классами С.м. являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества. Существуют и другие способы определения С.м., не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств). Особые разновидности представляет собой случайное конечное множество и случайное конечное абстрактное множество. Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т.п.).
- Случайное множество — измеримое отображение семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства в некоторое пространство , элементами которого являются множества. Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:
* — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства , называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
* — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
* — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам
* — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
* — подпространство выпуклых элементов , при этом получают случайное выпуклое множество. Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств. Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множества, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множетсво со свойством , где счётно и всюду плотно в . Важными частными классами случайного множетва являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества. Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств). Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т.п.).
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)