| abstract
| - Zur Vereinfachung betrachten wir hier Schwingungen im kubischen Kristallgitter in Richtung der Kante, der Flächen- und der Raumdiagonalen. Bei Wellenausbreitung in eine dieser Richtungen bewegen sich nämlich immer ganze Netzebenen in Phase und wir können somit die Schwingung einer ganzen Ebene mit einer einzigen Koordinate beschreiben. Für jeden Wellenvektor gibt es 1 longitudinale und 2 transversale Moden: In und senkrecht zur Richtung von . thumb|287px Des weiteren nehmen wir an, dass die Kräfte auf die Ebenen proportional zu deren Abstand untereinander sind, und wir betrachten nur die Wechselwirkungen zwischen benachbarten Ebenen. Die Kraft auf eine Ebene s in Abhängigkeit der benachbarten Ebenen s+1 und s-1 ergibt sich somit zu Wenn man die Kraftkonstante auf ein Atom mit C bezeichnet, erhält man für die Bewegungsgleichung eines Atomes (Masse M) in der Ebene s Also Lösungsansatz setzen wir fortschreitende Wellen ein mit a: GGW-Abstand der Netzebenen und q: Wellenvektor. Setzen wir die in die Bewegungsgleichung ein, so ergibt sich thumb und damit die Dispersionsrelation Bemerkung 1: Für große Wellenlängen geht die Dispersionsrelation in die lineare Dispersionsrelation von Schallwellen (Schallgeschwindigkeit unabhängig von Wellenlänge) über: groß thumb|284px Bemerkung 2: Der Bereich der q-Werte kann eingeschränkt werden auf , d.h. auf die 1. Brillouin-Zone. Jede Schwingungswelle deren Wellenvektor q* außerhalb dieses Bereiches liegt, ist physikalisch äquivalent zu der Welle mit der Wellenzahl q innerhalb dieser Zone, die die gleiche Schwingungsfrequenz ergibt. Wie man sich leicht verdeutlicht, muss man, um q zu finden, einen geeigneten reziproken Gittervektor G von q* abziehen oder addieren (in diesem Fall wäre G = ; n ganze Zahl. Man kann sich dies auch so vorstellen: Dadurch, dass die die Welle darstellenden Atome nicht kontinuierlich, sondern diskret mit einem Abstand a angeordnet sind, führen Wellelängen physikalisch nicht zu neuen Lösungen. Mit entspricht dies aber geraden , oder, wie hier gewählt . Bemerkung 3: Für q= , also an den Grenzen der Brillouin-Zone, wird die Welle stehend: . Anhand der Tatsachen, dass das Pluszeichen für gerade s, das Minuszeichen für ungerade s gilt, erkennt man außerdem, dass benachbarte Ebenen gerade gegenphasig schwingen. Bemerkung 4: Die Gruppengeschwindigkeit (also die Geschwindigkeit des Energietransportes) ergibt sich in unserem Fall aus der Dispersionsrelation zu . Man erkennt, dass sie am Rand der Brillouin-Zone gleich Null wird, wie sich das auch für eine stehende Welle gehört. Bemerkung 5:Bei der oben besprochenen Reduktion auf die erste Brillouin-Zone kann es durch das Abziehen eines reziproken Gittervektors G zum Vorzeichenwechsel bei q=q*-G und damit auch zum Vorzeichenwechsel der Phasengeschwindigkeit v=w/q kommt. Die Gruppengeschwindigkeit ändert sich dabei jedoch nicht!
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