| abstract
| - Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах. Отображение из векторного пространства в векторное пространствo называется линейным оператором если для любых и в и любых скаляров и . Часто пишут вместо . Линейный оператор из нормированного пространства в нормированное пространство называется ограниченным если найдется положительное вещественное число такое что для всех в . Наименьшая константа удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора и обозначается . Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор. Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства в нормированное пространство обозначается . В случае когда пишут вместо . Если — Гильбертово пространство, то обычно пишут вместо . На можно ввести структуту векторного пространства через и , где , , а — произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, превращается в нормированное пространство. В частности, и для любых и произвольного скаляра . Пространство является Банаховым тогда и только тогда когда — Банахово. Пусть и — нормированные пространства, и . Композиция и обозначается и называется «произведением» операторов и . Заметим что и . Если — Банахово пространство, то с введенным выше умножением является Банаховой алгеброй. В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов: 1.
* Спектральная теория изучает спектр оператора. 2.
* Классы операторов. В часности, компактные операторы, Фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы. 3.
* Операторы на специальных нормированных пространствах. 4.
* На Гильбертовых пространствах изучают самосопряженные, нормальные, унитарные, положительныe операторы и др. 5.
* На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом, и др. 6.
* На Банаховых решетках: положительные операторы, регулярные операторы, и др. 7.
* Совокупности операторов (то есть, подмножества ): операторные алгебры, операторные полугруппы, и др. 8.
* Теория инвариантных подпространств.
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)