| Content
| - В самом деле, из принципа относительности следует, что преобразование координат от системы к системе , а затем к эквивалентно преобразованию от непосредственно к , причем законы преобразования одинаковы и зависят только от относительных скоростей этих систем. То есть
Подставим в это выражение полученный вид матрицы A:
Учитывая, что в первой матрице диагональные элементы одинаковы, то они должны быть одинаковы и в последней матрице, откуда следует, что . Следовательно
для произвольных скоростей и . Это означает, что - постоянная величина, не зависящая от скорости .
- Рассмотрим для простоты также случай одномерного пространства. Инвариантность интервала означает, что . Подставим в это выражение линейные преобразования:
Получим
Поскольку и произвольны, то коэффициенты левой и правой частей должны быть тождественно равны. Следовательно
Из последнего равенства следует, что . Обозначим указанное отношение . Кроме этого обозначим , . Тогда . Тогда первые два соотношения можно записать как
из которых следует, что во-первых , во-вторых, , откуда можно записать . Наконец введя для удобства обозначение получим:
причем знаки в матрице либо положительные, либо отрицательные одновременно. Знак в формуле для необходимо выбрать положительный, поскольку при нулевой относительной скорости систем матрица A должна быть единичной . А если бы коэффициент в гамма был бы отрицательным это было бы невозможно . Поэтому однозначно можно утверждать, что - положительное число.
Что касается знаков внутри матрицы и собственно значения то это можно установить, если взять начало координат системы - вектор и преобразовать его к системе и использовать соглашение о скорости движения :
Разделив первое уравнение этой системы на второе получим . Что касается знака, то в виду положительности времени из второго уравнения следует, что знак должен быть положительным. Таким образом, окончательно имеем:
- Для этого достаточно понять, что тангенс угла между лучом, исходящим из начала координат и осью равен:
Уже из этого можно вывести закон сложения скоростей, используя формулу тангенса суммы углов . Если угол между системами равен , а угол между лучом движущегося тела и лучом системы равен , тогда для скорости w тела относительно системы S имеем:
Сократив и получим закон сложения скоростей .
Также несложно вывести выражения для косинуса и синуса угла:
Учитывая общую формулу поворотов в плоскости в евклидовом пространстве получим:
Разделив последнее на получим
- Возведя закон сложения скоростей в квадрат и подставив значения и получим:
Следовательно
Отсюда
Вычитая из выражения со знаком "+" выражение со знаком "-" получим , откуда и следует, что .
- В таком пространстве . Закон сложения скоростей:
Сократив скорость света, получим искомый закон сложения скоростей.
Повороты в этом пространстве в плоскости описываются следующим образом
Учитывая, что и и получим искомые преобразования Лоренца.
- В самом деле:
Поскольку последняя матрица должна быть единичной, то отсюда непосредственно следует, что и . Следовательно
.
- Рассмотрим движение из начала координат с постоянной скоростью в системе . Тогда . Тогда
,
подставив второе в первое, получим закон сложения скоростей в следующем виде:
.
По определению начало координат системы должно двигаться в со скоростью , а начало координат в должно двигаться относительно со скоростью . То есть если , то , а если , то . Учитывая это получим: . Обозначив , получим . Введем также обозначение . Отсюда и получаем вид преобразования и закона сложения скоростей. Необходимо отметить, что если бы дополнительно использовалось предположение , то сразу можно было бы получить классический закон сложения скоростей и преобразования Галилея. Однако, это предположение противоречит второму постулату.
- Если интервал между событиями равен нулю в одной ИСО, то это означает, что период времени - это время прохождения световым сигналом пути между пространственными координатами данных точек. В другой ИСО он проходит путь между этими точками за некоторый другой период времени , поэтому скорость, умноженная на также должна быть равна . Однако, согласно второму постулату скорость светового сигнала одинакова во всех ИСО, поэтому и во второй ИСО интервал будет равен нулю. Таким образом, непосредственно из второго постулата следует утверждение:
:если , то и в любой другой ИСО ,
Для бесконечно близких событий имеем и . Пусть . В частности, если , то и . В силу однородности и изотропности пространства и времени не может зависеть от пространственно-временных координат, а может зависеть только от относительной скорости систем отсчета. Она не должна также зависеть от направления относительного движения в силу изотропности пространства. В силу принципа относительности функция зависимости от относительной скорости должна быть универсальной, то одинакова для всех ИСО. Рассмотрим три системы отсчета где векторы скорости движения и в системе равны и . Рассмотрим некоторый интервал в этих трех системах отсчета:
Отсюда . Однако, зависит не только и , но и от направления этих векторов, поэтому это соотношение возможно только если функция от вообще не зависит, то есть является некоторой константой. Из этого же соотношения следует, что a=1. Это означает, что всегда выполнено соотношение
:
Откуда следует, что - значение интервала во всех ИСО одинакова, то есть интервал является инвариантом при переходе от одной ИСО к другой.
|
| abstract
| - [[Файл:Albert Einstein 1979 USSR Stamp.jpg|thumb|250px|Почтовая марка с формулой E = mc2, посвящённая Альберту Эйнштейну, одному из создателей СТО]] Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности. Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями. Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости. Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, которые позволяют преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел». Математический аппарат преобразований координат и времени между различными системами отсчета (с целью сохранения уравнений электромагнитного поля), был ранее сформулирован французским математиком А. Пуанкаре (который и предложил их назвать «преобразованиями Лоренца» — сам Лоренц вывел до этого только приближённые формулы). А. Пуанкаре также первым показал, что эти преобразования можно интерпретировать как повороты в четырехмерном пространстве-времени с мнимым временем (опередив Г. Минковского) и показал, что преобразования Лоренца образуют группу. О роли А. Пуанкаре в создании теории относительности см. подробнее: Пуанкаре, Анри#Роль Пуанкаре в создании теории относительности. Непосредственно термин «теория относительности» был предложен М. Планком. В дальнейшем, после разработки А. Эйнштейном теории гравитации — общей теории относительности — к первоначальной теории начал применяться термин «специальная» или «частная» теория относительности.
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)