Линейный оператор из нормированного пространства в нормированное пространство называется ограниченным если найдётся положительное вещественное число такое что для всех в . Наименьшая константа удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора и обозначается . Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор. См. также Теория операторов. Категория:Функциональный анализ
Линейный оператор из нормированного пространства в нормированное пространство называется ограниченным если найдётся положительное вещественное число такое что для всех в . Наименьшая константа удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора и обозначается . Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор. Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства в нормированное пространство обозначается . В случае когда пишут вместо . Если — Гильбертово пространство, то обычно пишут вместо . На можно ввести структуру векторного пространства через и , где , , а — произвольный скаляр. С введённой выше операторной нормой, превращается в нормированное пространство. В частности, и для любых и произвольного скаляра . Пространство является Банаховым тогда и только тогда когда — Банахово. Пусть и — нормированные пространства, и . Композиция и обозначается и называется «произведением» операторов и . Заметим что и . Если — Банахово пространство, то с введённым выше умножением является Банаховой алгеброй. См. также Теория операторов. Категория:Функциональный анализ