| Содержание
| - Существуют всего три типа трёхмерных многообразий: трёхмерная сфера, трёхмерная гиперсфера и трёхмерная плоскость.
*Метрика на трёхмерной плоскости даётся простым выражением:
::
*Чтоб задать метрику трёхмерной сферы необходимо ввести 4-мерное евклидово пространство:
::
:и добавить уравнение сферы:
::
*Гиперсферическая метрика уже определяется в 4-мерном пространстве Минковского:
::
:И точно так же, как для сферы, нужно добавить уравнение гиперболоида:
::
FWT метрика не что иное, как сведение всех вариантов воедино и приложение к пространству-времени.
- С учетом эволюции плотности запишем общую плотность в следующем виде:
:
Подставив это в уравнение энергии, получим искомое выражение
- По определению:
:
Поток излучения от некоторого источника уменьшается из-за геометрического фактора , вторым фактором является уменьшение длины фотона в раз и третий фактор - уменьшения частоты прихода отдельных фотонов из-за растяжения времени, также в раз. В итоге получаем для интегрального потока:
:
После чего путем простых преобразований получаем исходный вид
- Запишем полевые уравнения Эйнштейна в следующей форме:
:,
где - тензор Риччи:
:,
a записывается в терминах энергии импульса:
:
Т.к. в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера все афинные связности с двумя или тремя временными индексами обнуляются, то
:,
:
Подставим в ненулевые компоненты тензора Риччи выражения для символов Кристофеля:
:
:,
где - чисто пространственный тензор Риччи:
:
Из всех тех же соотношений для выбранной метрики:
:
Тогда, в точке чисто пространственный тензор Риччи равен:
:
Но в точке метрика это просто , т.е. в начале координат имеется следующее соотношение двух три-тензоров:
:
И в силу однородности метрики Фридмана-Робетсона-Уокера это соотношение справедливо при любом преобразовании координат, т.е. соотношение выполняется во всех точках пространства, тогда можно записать:
:
Компоненты тензора энергии-импульса в нашей метрике будут следующими:
:
Тогда:
:,
:
:
После подстановки уравнения Эйнштена примут вид:
:
:
Для перехода к уравнениям с Λ-членом необходимо произвести подстановку:
:
:
И после элементарных преобразований приходим к итоговому виду.
- Уравнение неразрывности следует из условия ковариантного сохранения тензора энергии-импульса:
:
Полагая здесь :
:
Явно запишем ненулевые компоненты тензора энергии-импульса:
:
подставив эти значения и воспользовавшись выражениями для символов кристофеля в FWT-метрике придем к конечному виду уравнения.
- По определению:
:
- собственный размер объекта перпендикулярно к лучу зрения, - видимый угловой размер.
Рассмотрим метрику в сферических координатах:
:
Размер объекта много меньше расстояния до него, поэтому:
:.
Вследствие малости углового размера можно принять равным . Перейдя в метрику текущего момента времени получим конечное выражение
|
| abstract
| - Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922 и 1924 (для Вселенной с отрицательной кривизной). Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято Эйнштейном (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения ОТО так называемый лямбда-член), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в 1925) остались вначале незамеченными. Нестационарность Вселенной была подтверждена открытием зависимости красного смещения галактик от расстояния (Эдвин Хаббл, 1929). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали Леметр (1927), Робертсон и Уокер (1935), поэтому решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера. Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман. В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и динамической метеорологии. Усвоение Фридманом ОТО было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с Фредериксом он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности. Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени. В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая ОТО и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике». И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области ОТО стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя. По свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не раз говорил, что его дело — указать возможные решения уравнений Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят». Изначально, уравнения Фридмана использовали уравнения ОТО с нулевой космологической постоянной. И модели, основанные на них, безоговорочно доминировали (помимо короткого всплеска интереса к другим моделям в 1960-е гг.) вплоть до 1998 года. В тот год вышли две работы, использовавшие в качестве индикаторов расстояния — сверхновые типа Ia. В них было убедительно показано, что на больших расстояниях закон Хаббла нарушается и Вселенная расширяется ускоренно, что требует наличия тёмной энергии, известные свойства которой соответствуют Λ-члену. Современная модель, так называемая «модель ΛCDM», по прежнему является моделью Фридмана, но уже с учётом как космологической постоянной, так и тёмной материи.
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)