| abstract
| - Сравнительно недавно в статье Форсберга, Пассаре и Циха было обнаружено, что целочисленные многогранники несут в себе много информации об алгебраических множествах. Расположение алгебраических поверхностей можно исчерпывающе описать, если многогранник Ньютона не содержит целых точек, отличных от своих вершин. Поэтому хотелось бы знать, какие многогранники обладают этим свойством. Рассмотрим случайный отрезок в , такой что точки и — целые и других целых точек он не содержит. Возьмем прямую α, содержащую . Двигаем ее в направлении, перпендикулярном (в обе стороны), пока не наткнемся на любую целую точку. Полученные прямые обозначим β и γ. Лемма 1. Третья вершина элементарного треугольника со стороной АВ может лежать только на одной из прямых β и γ. Доказательство. Возьмем целую точку ∊β. По теореме Фробениуса вектора и задают базис на . Далее будем работать в этом базисе. Требуется доказать, что если точка имеет вторую координату более 1 (или менее -1), то треугольник не будет элементарным. Пусть точка имеет координаты . Рассмотрим точки пересечения и с прямой и . Точка имеет координаты . Заметим, что расстояние от нее, до точки ≤≤1 (либо равно 0, но в таком случае треугольник содержит целую точку К и доказательство завершено). При этом . Но в таком случае и следовательно ∃ H(h,1) ∊ KL : h∊Z. То есть точка Н - целая. Что и требовалось доказать. Лемма 2. Любой элементарный четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. Для доказательства достаточно доказать, что элементарный треугольник можно достроить до элементарного четырехугольника только одним способом, и что в этом случае мы получим параллелограмм. Рассмотрим треугольник в системе координат заданной в лемме 1. Согласно лемме 1 точка может быть выбрана только на одной из прямых β или γ. Пусть для определенности ∊β, . Тогда очевидно, что четвертая точка должна быть выбрана на прямой γ. Обозначим эту точку . Причем , (иначе полученный четырехугольник не будет выпуклым). Т.е. . Но таким условиям удовлетворяет только одно целое число . Осталось заметить, что полученный четырехугольник является параллелограммом. Лемма доказана. Утверждение. Невозможно построить элементарный пятиугольник. Доказательство. Докажем, что к элементарному четырехугольнику нельзя добавить вершину так, чтобы полученный пятиугольник тоже был элементарным. Рассмотрим элементарный четырехугольник . По лемме 2 он является параллелограммом. Тогда для того, чтобы полученный пятиугольник был выпуклым, пятая вершина должна лежать внутри одной из полос α, β, γ, δ. Каждую из этих полос можно разбить на параллелограммы, равные . Но они - элементарные, а значит не содержат целых точек. То есть внутри этих полос нет ни одной целой точки. Следовательно подходящую точку выбрать невозможно, а значит, элементарный пятиугольник построить не возможно. Что и требовалась доказать.
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)